Entwicklung und Test von Verfahren zur gemischt-ganzzahligen nichtlinearen Optimierung

Ausgehend von vorhandenen Verfahren zur kontinuierlichen Optimierung sollen Algorithmen zur Behandlung zusätzlicher ganzzahliger Variablen untersucht werden. Dabei ist zwischen ganzzahligen Variablen zu unterscheiden die sich relaxieren lassen, und solchen, die sich nicht relaxieren lassen. Im ersten Fall stehen Gradienten an ganzzahligen Gitterpunkten zur Verfügung und hierauf aufbauend eine Reihe von verschiedenen, aus der Litaratur bekannten Ansätzen. Im zweiten Fall können Informationen über Ableitungen höchstens sehr grob über benachbarte Gitterpunkte abgeschätzt werden.

Ziel der Arbeit ist, beide Variablenklassen in ein gemeinsames Verfahren zur gemischt-ganzzahligen Optimierung zusammenzubinden. Die Konvergenz des resultierenden Verfahrens ist zu analysieren, soweit möglich, und es sind numerische Tests durchzuführen.

Voraussetzungen sind Besuch einer Vorlesung zur nichtlinearen Optimierung und Programmierkenntnisse. Das Thema hat grosse praktische Bedeutung. Auf vorhandene Ergebnisse aus anderen Forschungs- oder Diplomarbeiten kann aufgebaut werden.

Entwicklung eines Verfahrens zur globalen Optimierung und der Einsatz beim Entwurf von elektronischen Filtern

Die Suche nach dem globalen Minimum einer nichtlinearen Funktion unter zusätzlichen Nebenbedingungen stellt generell eine grosse Herausforderung an die Leistungsfähigkeit moderner Optimierungsverfahren dar. Da stochastische oder ähnliche Suchverfahren aus Effizienzgründen ausscheiden, soll ein alternativer deterministischer Ansatz entwickelt werden, bei dem sukzessiv schon berechnete lokale Minima abgeschnitten werden. Hierzu sind eine Reihe von Teilaspekten zu analysieren, z.B. das Vermeiden von unzulässigen Bereichen oder Regularisierung. Eingesetzt werden vorhandene Programme zur nichtlinearen Optimierung, die nur die Konvergenz zu einem lokalen Minimum garantieren.

Der resultierende Code soll in der Firma EPCOS (München) zur Optimierung von SAW-Filtern eingesetzt werden, die beispielsweise in handelsübliche Handys eingebaut werden. Voraussetzungen sind Besuch einer Vorlesung zur nichtlinearen Optimierung und Programmierkenntnisse sowie eine gewisse Flexibilität, da u.U. mehrwöchige Aufenthalte in der Firma anfallen. Eine finanzielle Zuwendung von Seiten der Firma ist möglich.

Sensitivitätsanalyse in örtlich eindimensionalen partiellen Differentialgleichungen

Analog zu gewöhnlichen Differentialgleichungen können Ableitungen in partiellen Differentialgleichungen nach Parametern der rechten Seite oder der Anfangs- bzw. Randbedingungen durch gleichzeitige Integration der Sensitivitätsgleichungen berechnet werden. Zur Diskretisierung kommt die Linienmethode zum Einsatz, d.h. nach einer Diskretisierung der Ortsvariablen wird das resultierende System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Standardverfahren gelöst. Da aber dieses System gross und häufig auch steif ist, kommen in der Regel implizite Verfahren zum Einsatz. In diesem Fall besitzt die Jakobimatrix der rechten Seite eine spezielle Struktur, die intern bei der Lösung linearer Gleichungssysteme berücksichtigt werden muss.

Das Verfahren soll in ein vorhandenes Programm zur Parameteridentifizierung eingefügt werden. Weitere Module zur Lösung steifer Differentialgleichungen oder speziell strukturierter linearer Gleichungssysteme liegen vor, ebenso zur automatischen Differentiation.

Voraussetzungen sind der Besuch der Numerik-II-Vorlesung und Programmierkenntnisse, wünschenswert auch der Besuch einer Vorlesung über partielle Differentialgleichungen. Das Thema ist höchst interessant durch das Aufeinandertreffen vieler unterschiedlicher Teildisziplinen der numerischen Mathematik.
Die Programmierarbeiten sind anspruchsvoll. 

Untersuchungen zur Konstruktion von Filtern in der Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung besitzt einen starken Anwendungsbezug zur Mechanik und führt im Regelfall auf extrem grosse, nichtlineare Optimierungsprobleme, die mit vorhander Software gelöst werden können. Hierbei entsteht jedoch in vielen Fällen ein Schachbrettmuster, das aus praktischer Sicht nicht zu rechtfertigen ist. Ausserdem ist eine unerwünschte Abhängigkeit der Struktur der Lösung von der Diskretisierung zu beschreiben. Zur Vermeidung dieses unerwünschten Effekts stehen eine Reihe heuristischer Ansätze zur Verfügung, die allerdings die vom Optimierungsprogramm geforderte Differenzierbarkeit stören.

Aufgabe ist es, bekannte Ansätze zusammenzutragen, zu analysieren und hierauf aufbauend einen Filter zu entwickeln, der auf glatte Optimierungsprobleme führt. Voraussetzung sind Programmierkenntnisse, wünschenswert Grundkenntnisse der Mechanik und der Finite-Elemente-Methoden. Das Thema ist interessant und wichtig durch den Bezug zur Mechanik und durch den Kontakt mit moderner FE-Software (ANSYS, SLANG). Eine enge Kooperation mit einschlägigen Softwarefirmen liegt vor (inuTech, CadFem).