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Forschungsbericht 2001 - 2003 Fakultät für Mathematik und Physik Fachgruppe Mathematik einschliesslich Informatik english |
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Lehrstuhl Mathematik I : Komplexe Analysis
Komplexe Analysis, Algebraische Geometrie Professor Dr. Thomas Peternell Tel: +921/55-3369 Fax: +921/55-2785 e-mail: thomas.peternell@uni-bayreuth.de www-Adresse: http://btm8x5.mat.uni-bayreuth.de/mathe1/ Wissenschaftliche Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter: Bauer, Thomas, Dr. (DFG-Schwerpunkt; wiss. Assistent) Eckl, Thomas, Dr. wiss.Assistent; bis 2003 Jahnke, Priska, Dr. (DFG-Schwerpunkt) Kebekus, Stefan, Dr. (wiss. Assistent, LST Mathe VIII; Heisenbergstipendiat seit 2002), bis 2003 Elsner, Detlev, Dipl.Math. (Graduiertenkolleg), Promotion 2001, bis 2001 Kühnel, Marko, Dipl.Math. (Graduiertenkolleg), Promotion 2001, bis 2001 Radloff, Ivo, Dr. (DFG-Schwerpunkt) Pukhlikov, Aleksandr, Dr., Humboldtstipendiat 2001-2003 Kronenthaler, Wolfgang, Dipl.Math., Doktorand seit 2002 Höring, Andreas, Doktorand seit 2003 Beteiligung an Zentralen wissenschaftlichen Einrichtungen, Sonderforschungsbereichen, Graduiertenkollegs: Globale Methoden in der Komplexen Geometrie Forschungsprojekte Mannigfaltigkeiten semipositiver KrÜmmung Eine Hauptaufgabe der Differentialgeometrie ist die Beschreibung und Klassifikation von Mannigfaltigkeiten vorgegebener Krümmung. In diesem Projekt geht es um Räume, deren Krümmung nicht negativ ist. Da Metriken im allgemeinen sehr schwer zu konstruieren sind, wird in der algebraischen Geometrie die Krümmungdurch eine Bedingung ersetzt, die mehr numerischer Natur ist und daher leichter zu verifizieren. Man spricht dann von Mannigfaltigkeiten mit "numerisch effektivem" Tangentialbündel oder antikanonischem Bündel. Die bisher gewonnenen Ergebnisse geben weitreichende Klassifikationssätze. Es wird noch an Strukturergebnissen über Mannigfaltigkeiten mit numerisch effektivem Tangentialbündel (das differentialgeometrische Analogon ist die semipositive holomorphe Bischnittkrümmung), deren Riccikrümmung positiv ist, gearbeitet. Außerdem ist die Strukturtheorie von Mannigfaltigkeiten mit numerisch effektiver antikanonischer Klasse noch nicht abgeschlossen, während im Fall semipositiver Riccikrümmung eine komplette Strukturtheorie vorliegt. Die Projekte wurden in Zusammenarbeit mit J.P.Demailly und M.Schneider, mit F. Serrano sowie mit F.Campana und Q.Zhang durchgeführt. Eine logarithmische Theorie wurde in der Dissertation von A.Schäfer entwickelt. Ein Projekt zusammen mit P.Jahnke und I.Radloff ist die vollständige Klassifikation aller 3-Faltigkeiten, deren antikanonische Klasse nef und "big" ist. Die Eigenschaft "big" garantiert, daß es bis auf Deformation nur endlich viele solcher 3-Faltigkeiten gibt, so daß hier in der Tat eine komplette Beschreibung möglich ist. In dieselbe Richtung geht eine neue Arbeit mit T.Bauer, eine Strukturtheorie von 3-Faltigkeiten, deren antikanonische Klasse nef, aber nicht "big" ist. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th. Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) Deutsche Forschungsgemeinschaft Europäische Gemeinschaft Projektlaufzeit: seit 1991 Moritheorie auf KÄhlermannigfaltigkeiten Seit Beginn der achtziger Jahre hat die sog. Moritheorie tiefliegende Ergebnisse zur Klassifikationstheorie algebraischer Mannigfaltigkeiten gewonnen, insbesondere in komplexer Dimension 3. Die Methoden kommen aus der algebraischen Geometrie und sind daher für die Klassifikationstheorie kompakter Kählerscher Mannigfaltigkeiten, die eine wesentlich größere Klasse von Räumen bilden und deren Verständnis auch für die algebraische Geometrie von großer Wichtigkeit ist, ungeeignet. Seit 1995 habe ich , zum Teil zusammen mit F.Campana, Methoden für eine analytische Moritheorie entwickelt, zunächst in Dimension 3. Zur weiteren Fortführung dieses Projektes sollen jetzt auch Methoden der symplektischen Geometrie zur Anwendung kommen. Dies wird im Rahmen des neuen DFG-Forschungsschwerpunkts "Globale Methoden in der Komplexen Geometrie" durchgeführt. In einer gemeinsamen Arbeit mit J.P.Demailly (J.Diff.Geom.) werden neue Resultate im Rahmen der abundance conjecture bewiesen. Zur Zeit wird ein Teilaspekt im Rahmen eines Dissertationsprojektes von W.Kronenthaler durchgeführt. In der algebraischen Moritheorie wird in einer gemeinsamen Arbeit mit Boucksom, Demailly und Paun eine numerische Charakterisierung von pseudo-effektiven Geradenbündlen gegeben mit Anwendung auf das Abundance-Problem. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th.Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) Deutsche Forschungsgemeinschaft Europäische Gemeinschaft Projektlaufzeit: seit 1995 Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten gehören zu den wichtigsten Objekten der komplexen Geometrie. In den letzten Jahren wurden in Zusammenarbeit mit K. Oguiso in komplexer Dimension 3 (d.h. in derr für die Physik wichtigen Dimension) Linearsysteme und globale Struktur untersucht. Zur Zeit werden Calabi-Yau Mannigfaltikeiten in Dimension 3 mit Picardzahl 2 sowie Calabi-Yau 4-Mannigfaltigkeiten untersucht hinsichtlich der Existenz von Faserungen und rationaler Kurven. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th.Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) Deutsche Forschungsgmeinschaft Europäische Gemeinschaft Projektlaufzeit: seit 1991 Topologie komplexer Strukturen Eine zentrale Problemstellung der komplexen Geometrie fragt nach der Beschreibung aller komplexer Strukturen auf einer vorgegebenen differenzierbaren Varietät. Zwei Aspekte wurden und werden studiert: 1. Welche (algebraischen) komplexen Strukturen existieren auf Fanomannigfaltigkeiten (das sind positiv gekrümmte Räume)? 2. Welche komplexen Strukturen existieren auf der 6-dimensionalen Sphäre? Das Problem 1 wurde in wichtigen Klassen studiert mit P.Freitag, A. Summerer und D.Elsner, Problem 2 mit F.Campana, J.P.Demailly einerseits und S. Kebekus und A.Huckleberry andererseits. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th. Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) Deutsche Forschungsgemeinschaft Europäische Gemeinschaft Projektlaufzeit: seit 1992 Geometrie von Untermannigfaltigkeiten In diesem Projekt wird studiert, wie die Geometrie einer Untermannigfaltigkeit die globale Struktur der umgebenden Mannigfaltigkeit beeinflußt, wenn das Normalenbündel der Untermannigfaltigkeit genügend positiv ist. In einer Arbeit mit M.Schneider und A.Sommese wurden Beziehungen zwischen den Kodairadimensionen der Mannigfaltigkeiten hergestellt. Diese grundlegenden Beziehungen werden z.Z. verwendet, um Mannigfaltigkeiten zu studieren, die Untermannigfaltigkeiten nichtpositiver Kodairadimension enthalten mitsemipositivem Normalenbündel. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th. Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) Deutsche Forschungsgemeinschaft/Europäische Union Projektlaufzeit: seit 1996 Kontaktmannigfaltigkeiten und Untergarben im TangentialbÜndel Kontaktmannigfaltigkeiten spielen eine wichtige Rolle in der reellen Differentialgeometrie. Im Zusammenhang mit quaternionischen Kählermannigfaltigkeiten und Twistorräume ist dieser Begriff jedoch auch in der komplexen Geometrie wichtig geworden. In einem Projekt mit S.Kebekus, A.Sommese (Notre Dame) und J.Wisniewski (Warschau) wurden Strukturaussagen über komplexe Kontaktmannigfaltigkeiten, die einen wesentlichen Beitrag zur Klassifikation leisten. Es stellte sich heraus, daß einige Fragen zu interessantenallgemeinen Problemen über Untergarben im Tangentialbündel führen, die weiterverfolgt werden sollen. Mit F.Campana studierte ich jüngst Untergarben im Tangentialbündel im Hinblick auf die universelle Überlagerung. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th. Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) Deutsche Forschungsgemeinschaft/Europäische Union Projektlaufzeit: seit 1997 Das TangentialbÜndel algebraischer Mannigfaltigkeiten Eine klassische Frage in der Theorie (kompakter) komplexer Mannigfaltigkeiten ist die nach der globalen Flachheit bzw. Integrierbarkeit gewisser vorgegebener infinitesimaler Strukturen. Zum Beispiel genügt es im Falle einer Kählermannigfaltigkeit zu verlangen, daß das Tangentialbündel trivial ist; die Mannigfaltigkeit ist dann bereits ein Torus, die Struktur also flach. Gemeinsam mit F.Campana (Nancy) untersuchen wir die Geometrie von algebraischen Mannigfaltigkeiten, deren Tangentialbündel spaltet. Ziel ist eine Zerlegung der universellen Überlagerung, evt. unter Integrabilitätsbedingungen, wenigstens in komplexer Dimension 3. Dieses Projekt wird von A.Höring im Rahmen eines binationalen Dissertationsprojektes mit Grenoble weitergeführt. In der Twistortheorie, der Uniformisierungstheorie und neuen Resultaten aus der Fanogeometrie spielen Mannigfaltigkeiten (infinitesimal) modelliert nach hermitesch symmetrischen Räumen eine zentrale Rolle. Von P.Jahnke und I.Radloff stammt die vollständige Klassifikation alle solcher Mannigfaltigkeiten in projektiver Dimension 3. Wie schon bei Kobayashi und Ochiai, die vollständig den Fall Dimension 2 behandelten, stellt sich heraus, daß die Strukturen hier stets flach sind. Als Beispiel diene hier die Quadrik. Im Fall Dimension 2 impliziert die Existenz einer infinitesimalen Quadrikenstruktur das Spalten des Tangentialbündels als Summe zweier Geradenbündel (eventuell nach étaler Überlagerung), und Flachheit bedeutet hier, daß die universelle Überlagerung in der Tat ein Produkt ist. In Dimension 3 liefert das Resultat von P.Jahnke und I.Radloff als Korollar die komplette Klassifikation aller 3-Faltigkeiten, deren Tangentialbündel als symmetrisches Quadrat eines Rang zwei Vektorbündels geschrieben werden kann. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th. Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) DFG Projektlaufzeit: seit 1998 Geometrie von Überlagerungen Dies ist ein gemeinsames Projekt mit A.J.Sommese (Notre Dame). Wir untersuchen die Geometrie von Überlagerungen algebraischer Varietäten. Diese wird kodiert durch ein Vektorbündel auf der Basismannigfaltigkeit. Wir untersuchen die Krümmung und Geometrie diese Vektorbündels. Mit J.M. Hwang und S.Kebekus wurde der Raum der Überlagerungen zwischen festen Varietäten studiert. Projektleitung (an der UniversitÄt Bayreuth) Th. Peternell FÖrdernde Institution (evtl. FÖrderkennzeichen) DFG Projektlaufzeit: seit 1998 Publikationen 1. Towards a Mori theory on compact Kähler threefolds, III. Bull. Soc. Math. France 129, 339-356 (2001) 2. The Kodaira dimension of Kummer threefolds. Bull. Soc. Math. France 129, 357-359 (2001) 3.On the Albanese maps of compact Kähler manifolds with nef anticanonical bundles (mit F. Campana, Q.Zhang). Trans. Amer. Math. Soc. 2003 4. Ample vector bundles and branched coverings (mit A.J.Sommese). Comm. in Algebra 28, 5573-5599, 2001, special volume in honour of R.Hartshorne 5. Contact structures, rational curves and Mori theory. Proceedings 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona 2000; Progress in Math. vol. 201, 509-518, Birkhäuser 2001 6. Subsheaves in the tangent bundle: integrability, stability and positivity. Lecture Notes Summerschool ``Vanishing Theorems and effective results in Algebraic Geometry, ICTP Lecture Notes, 2001 7. Pseudo-effective line bundles on compact Kähler manifolds (mit J.P. Demailly). Intl. J. Math. 12, 689-741 (2001) 8. Manifolds with nef subsheaves in the cotangent bundle (mit S.Kebekus, A.Sommese), in: Complex Geometry, Festschrift in honour of Hans Grauert, 157-163, Springer 2002 9. Manifolds with splitting tangent bundles,I (mit F.Campana). Math. Z. 241, 613-637 (2002) 10. Compact Kaehler threefolds with small Picard numbers. Applications of algebraic geometry to coding theory, physics and computation; 271-290, Kluwer 2001 11. A reduction map for nef line bundles (mit T.Bauer, F.Campana et al.). In Complex Geometry, Festschrift in honour of H.Grauert; 27-36, Springer 2002 12. The dual Kähler cone of a compact Kähler threefold (mit K.Oguiso). math.AG/0107224 13. Differential forms and terminal singularities. Preprint 2001 14. Generalized Tsen theorem and rationally connected fibrations (mit F.Campana, A.Pukhlikov). Doklady Mat. Nauk., 2003 15. 3. Line bundles on complex tori and a conjecture of Kodaira (mit J.P. Demailly, T.Eckl). math.AG/0212243 16. Ample vector bundles and branched coverings II (mit A.J.Sommese). math.AG/021120. To appear in the proceedings of the Fano conference, Torino 2002 17. A Kawamata-Viehweg vanishing theorem on compact Kähler manifolds (with J.P. Demailly). J. Differential Geometry 63, 231-277 (2003) 18. Nef reduction and the structure of threefolds with nef anticanonical bundles (mit T.Bauer). math.AG0310484, ersch. in Asian J. Math., volume in honour of Y.T.Siu 19. Holomorphic maps onto varieties of non-negative Kodaira dimension (mit J.M.Hwang und S.Kebekus). math.AG 0307220 20. The pseudo-effective cone of a compact K\"ahler manifold and varieties of negative Kodaira dimension (mit S.Boucksom, J.P.Demailly und M.Paun). math.AG/0405285 T.Eckl: 1. Vector fields on smooth threefolds vanishing on complete intersections. manuscripta math. 107, 59-71 (2002) 2. Tsuji's numerical trivial fibrations. math.AG/0202270; to appear in Journal Alg. Geom. 3. Line bundles on complex tori and a conjecture of Kodaira (mit J.P. Demailly,T.Peternell. math.AG/0212243 Numerical trivial foliations. math.AG/0304312 P.Jahnke und I.Radloff: 1. Splitting jet sequences. math.AG/021054, ersch. in Math. Res. Letters 2. Threefolds with holomorphic normal projective connections. math.AG/0210117, ersch. in Math. Ann. 3. Fano 3-folds with sections in $\Omega_V^1(1)$. math.AG/0310390 4. Generatedness for Gorenstein Fano threefolds with canonical singularities. math.AG/0404156 5. Projective threefolds with holomorphic conformal structure. Preprint 2004 6. Submanifolds with splitting tangent bundles. math.AG/0304223 T.Bauer: 1. Stability and Futaki invariants of Fano hypersurface. Preprint 2001 Dissertationen: Th.Bauer: Faserraumstrukturen auf 4-dimensionalen Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten (2000) D.Elsner: Projektive Strukturen auf Fano 3-Faltigkeiten mit b_2 = b_3 = 2 (2000) M.Kühnel: Über gewisse Calabi-Yau-3-faltigkeiten mit Picardzahl 2 (2000) |
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